Заседание 90 (27 декабря 2002 г.)
Шамолин М. В.
Об интегрируемости в трансцендентных функциях.
Понятие интегрируемости, вообще говоря, достаточно расплывчатое. Как известно, при его построении необходимо учитывать в каком смысле оно понимается (имеется в виду некий критерий, по которому делается вывод о том, что траектории рассматриваемой динамической системы устроены особенно "привлекательно и просто"), в классе каких функций ищутся первые интегралы и т. д.
В докладе принимается преимущественно подход, который учитывает класс функций как первых интегралов трансцендентные функции, причем элементарные. А вот трансцендентность понимается не в смысле тех же элементарных функций (например тригонометрических), а в смысле наличия у них существенно особых точек (в силу классификации в теории функций комплексного переменного). При этом, конечно, их перед этим необходимо формально продолжить в комплексную область. Вот такие системы являются, как правило, сильно неконсервативными.
Конечно известно, что в общем случае построить какую-либо теорию интегрирования неконсервативных систем (хотя бы и невысокой размерности) невозможно. Но в ряде случаев, когда исследуемые системы обладают дополнительными симметриями, удается найти первые интегралы через конечные комбинации элементарных функций.