Заседание 7 (30 апреля 1999 г.)
Тpофимов В.В.
Топологическая визуализация струйныйх течений газа и жидкостей.Для исследования реальных потоков, например, потоков воздуха в атмосфере применяют конечное число датчиков (метеостанций), между которыми имеется конечное число связей, описываемых некоторым графом в пространстве. Изучается движение жидкости или газа на плоскости и в пространстве. В отличие от традиционного метода описания потоков с помощью системы дифференциальных уравнений, в работе предлагается качественное описание, связанное с представлением потока в виде дифференциальной формы 1-го порядка и ее интегралов по сетям путей в пространстве потоков.
Построение модели. Пусть на плоскости или в пространстве имеется поток. Тогда определена 1-форма, значение которой на некотором векторе a равно скалярному произведению вектора скорости потока в данной точке и вектора a. Если имеется граф, то его можно превратить в размеченный, приписав каждому ребру число, равное интегралу от указанной выше формы по этому ребру. В итоге мы получим размеченый граф либо на плоскости, либо в пространстве, который содержит информацию о потоке в окрестности этого графа.
В плоском случае рассмотрим все прямые на плоскости. Это многообразие диффеоморфно листу Мебиуса. Доказано, что размечeнный граф, а следовательно и поток, задается функцией на некотором специальном его разбиении. Аналогично, множество всех плоскостей в пространстве диффеоморфно трехмерному проективному пространству без точки. Доказано, что размеченный пространственный граф определяет функцию на некотором специальном разбиении проективного пространства без точки. Является ли даный граф плоским или нет решает известная теорема Куратовского.