Заседание 65 (28 декабря 2001 г.)
Довбыш С. А.
Оптимальные ляпуновские метрики гомеоморфизмов, обладающих гиперболической
структурой.
Пусть
- гомеоморфизм компактного
метрического пространства
с метрикой
,
локальные (радиуса
)
устойчивое
и неустойчивое
“многообразия” точки
определяются как
,
.
Определение.
Гомеоморфизм
обладает гиперболической структурой (ГС), а метрика
называется гиперболической, если существуют такие
,
и
, что
(1)
при
(
). Метрика
называется ляпуновской, если при этом
.
Пусть
и
есть точные нижние грани для констант
таких, что при подходящих
выполнены
неравенства (1), относящиеся, соответственно, к устойчивым и неустойчивым многообразиям.
Константы
и
не изменятся при выборе меньшего радиуса
локальных многообразий.
К. Сакаи доказал (Sakai K. Topology and Appl. 1995. V. 63, no. 3.
P. 263--266; 2001. V. 112, no. 3. P. 229--243), что у гомеоморфизма
, обладающего ГС, имеется ляпуновская метрика, эквивалентная
исходной (т. е. определяющая ту же топологию), причем эту метрику можно выбрать так, что
оба отображения
и
будут липшицевыми относительно нее. Следующая теорема
утверждает существование оптимальных
ляпуновских метрик.
Теорема.
Пусть гомеоморфизм
обладает ГС и
,
. Тогда ляпуновскую метрику
можно выбрать так, что
(и,
соответственно,
) равномерно по всем
таким,
что
(соответственно,
) при
или, что равносильно, при
. Более того,
отображение
(соответственно,
) будет липшицевым
относительно
с постоянной
(соответственно,
), если
(
).
В случае, когда
гомеоморфизм
дополнительно обладает локальной структурой произведения, т. е.
удовлетворяет аксиоме
(см. Алексеев В. М. Символическая динамика // Одиннадцатая
матем. школа. Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1976. 210 с.) метрика
в малых масштабах приблизительно
представляется как прямая сумма метрик, соответствующих
каноническим координатам,
а малые участки “
многообразий”
,
(рассмотренные при надлежащем увеличении) приблизительно
являются в некотором смысле
``плоскими'' подмножествами
.