Сформулированы некоторые результаты - о нестандартных расширениях алгебраических систем в широком смысле - которые можно отнести к истокам и начальному развитию той области математики (возникшей в прошедшем веке), которая получила название нестандартный анализ (Н.А.). В частности, теорема - о которой, можно сказать, знали создатели Анализа еще в Новом времени - о том, что производная обычной дифференцируемой функции f в точке х вещественной прямой R равна (единственному) ближайшему к дроби (*f(x+h)-f(x))/h обычному вещественному числу; здесь h - бесконечно малое ненулевое число из линейно упорядоченного поля *R, являющегося нестандартным расширением поля R, и *f - соответствующее нестандартное продолжение f до функции из *R в *R. Изложена также конструкция нестандартного расширения числовой прямой с помощью свободного ультрафильтра на бесконечном множестве.