В 1890 году немецкий математик и механик В. Гесс [1] указал новый частный случай интегрируемости уравнений Эйлера–Пуассона движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. В 1963 году Л. Н. Сретенский в своей работе [2] показал, что частный случай интегрируемости, аналогичный случаю Гесса, будет существовать и в задаче о движении гиростата — твердого тела с неподвижной точкой, в котором расположен вращающийся однородный маховик. Также Л. Н. Сретенским было доказано, что решение задачи о движении тяжелого гиростата с неподвижной точкой при условиях Гесса сводится к интегрированию некоторого линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.

В докладе представлен вывод соответствующего уравнения второго порядка и показано, как привести коэффициенты этого уравнения к виду рациональных функций. Затем при помощи алгоритма Ковачича [3] исследуется вопрос о существовании лиувиллевых решений у соответствующего линейного дифференциального уравнения второго порядка. В тех случаях, когда удается найти общее решение этого уравнения, выраженное через лиувиллевы функции, решение уравнений движения тяжелого гиростата в случае Гесса–Сретенского может быть представлено с помощью квадратур. Получены условия на параметры задачи, при выполнении которых уравнения движения тяжелого гиростата с неподвижной точкой в случае Гесса–Сретенского интегрируются в квадратурах.

[1] Hess W. Ueber die Euler’schen Bewegungsgleichungen und u?ber eine neue partikula?re Lo?sung des Problems der Bewegung eines starren Ko?rpers um einen festen Punkt // Mathematische Annalen. 1890. Vol. 37. Issue 2. P. 153–181.

[2] Сретенский Л. Н. О некоторых случаях интегрируемости уравнений движения гиростата // Доклады АН СССР. 1963. Т. 149. № 2. С. 292–294.

[3] Kovacic J. An algorithm for solving second order linear homogeneous differential equations // Journal of Symbolic Computation. 1986. Vol. 2. P. 3–43.