Заседание 492 (10 марта 2023 г.)
Шамолин М.В.
О гладкости инвариантов динамических систем.
Обнаружение достаточного количества тензорных инвариантов (и не только первых интегралов), как известно, позволяет проинтегрировать систему дифференциальных уравнений. Например, наличие инвариантной дифференциальной формы фазового объема позволяет уменьшить количество требуемых первых интегралов. Как известно, для консервативных систем этот факт естественен. Для систем же, обладающих притягивающими или отталкивающими предельными множествами, не только некоторые первые интегралы, но и коэффициенты имеющихся инвариантных дифференциальных форм должны, вообще говоря, включать трансцендентные (т.е. имеющие существенно особые точки, в смысле комплексного анализа) функции.
Кратко приведем примеры часто встречающихся тензорных инвариантов. Скалярные инварианты - это первые интегралы рассматриваемой системы. Инвариантные векторные поля - поля симметрий для данной системы (они коммутируют с векторным полем рассматриваемой системы). Фазовые потоки систем дифференциальных уравнений, порождаемых этими полями, переводят решения рассматриваемой системы в решения той же системы. Инвариантные внешние дифференциальные формы (что, в основном, и проведено в данной работе) порождают интегральные инварианты рассматриваемой системы. При этом само векторное поле рассматриваемой системы является одним из инвариантов (тривиальный инвариант). Знание тензорных инвариантов рассматриваемой системы дифференциальных уравнений облегчает и ее интегрирование, и качественное исследование. Наш подход состоит в том, что для точного интегрирования автономной системы из n дифференциальных уравнений, помимо упомянутого тривиального инварианта, надо знать еще n-1 независимых тензорных инвариантов.
Как показано ранее, задача о движении n-мерного маятника на обобщенном сферическом шарнире в неконсервативном поле сил, который можно образно описать, как "поток набегающей среды, заполняющей объемлющее n-мерное пространство", приводит к динамической системе на касательном расслоении к (n-1)-мерной сфере, при этом метрика специального вида на ней индуцирована дополнительными группами симметрий. Динамические системы, описывающие движение такого маятника, обладают знакопеременной диссипацией, полный список первых интегралов состоит из трансцендентных функций, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций.
Такое же фазовое пространство естественно возникает в задаче о движении точки по (n-1)-мерной сфере с индуцированной метрикой объемлющего n-мерного пространства. Отметим также задачи о движении точки по более общим (n-1)-мерным поверхностям вращения, в пространстве Лобачевского (например, в модели Клейна) и т.д. Полученные результаты особенно важны в смысле присутствия в системе именно неконсервативного поля сил.
Важные частные случаи систем с n степенями свободы с неконсервативным полем сил рассматривались в работах автора. Настоящее исследование распространяет результаты этих работ на более широкий класс динамических систем.
В данной работе для рассматриваемого класса динамических систем предъявлены полные наборы инвариантных дифференциальных форм фазового объема для однородных систем на касательных расслоениях к гладким n-мерным многообразиям. Показана связь наличия данных инвариантов с полным набором первых интегралов, необходимых для интегрирования геодезических, потенциальных и диссипативных систем. При этом вводимые силовые поля вносят в рассматриваемые системы диссипацию разного знака и обобщают ранее рассмотренные.
Сначала изучается задача геодезических, включающая, в частности, геодезические на сфере и других поверхностях вращения, n-мерного пространства Лобачевского. Указываются достаточные условия интегрируемости уравнений геодезических. Затем в системы добавляется потенциальное поле сил специального вида, также указываются достаточные условия интегрируемости рассматриваемых уравнений, на классах задач, аналогичных рассмотренным ранее. И в заключение рассматривается усложнение задачи, возникающее в результате добавления неконсервативного поля сил со знакопеременной диссипацией. Указываются достаточные условия интегрируемости.