Рассматривается метод граничных элементов численного решения краевых задач для гармонических и бигармонических уравнений в многосвязной области на плоскости с приложениями к гидродинамике и теории упругости. Интегральные уравнения на границе области аппроксимируются системой линейных уравнений. Для аппроксимации предлагаются квадратурные формулы специального вида, учитывающие периодичность подынтегральных функций, заданных на граничных контурах, что позволяет существенно сократить вычисления и повысить их точность. Особенно это проявляется, если граница многосвязной области состоит из системы гладких замкнутых контуров, то погрешность аппроксимации убывает быстрее любой степени шага сетки. Проводятся проверки сходимости численных решений, построенных предлагаемым методом, к известным точным решениям задач механики: потенциальное обтекания эллиптического профиля с циркуляцией, течения вязкой жидкости в слое между двумя эксцентрично расположенными и произвольно движущимися круговыми цилиндрами, задача теории упругости об эксцентрической трубе, находящейся под равномерным внешним и внутренним давлением (точное решение Уфлянда Я.С. и для частного случая концентрической трубы задача Ламе).