Заседание 485 (11 ноября 2022 г.)
Шамолин М.В.
Системы с четырьмя степенями свободы с диссипацией: интегрируемость и анализ.
Работа является обзорной по вопросам интегрируемости систем с четырьмя степенями свободы. Таким образом, рассматривая касательное расслоение конфигурационного многообразия - гладкого четырехмерного многообразия - приходим к фазовому пространству изучаемой системы. Работа состоит из трех разделов: подробно изложена порождающая задача из динамики многомерного твердого тела, помещенного в неконсервативное поле сил; затем рассмотрены более общие динамические системы на касательном расслоении к четырехмерной сфере; в заключение рассмотрены касательные расслоения к достаточно обширному классу гладких многообразий. Во всех разделах доказаны теоремы о достаточных условиях интегрируемости рассматриваемых динамических систем в классе трансцендентных функций.
Данная работа является в некотором смысле обзорной по проблеме интегрируемости неконсервативных систем с четырьмя степенями свободы. Если конфигурационное многообразие системы - гладкое четырехмерное многообразие, то касательное (кокасательное) его расслоение имеет естественную структуру фазового пространства системы, увеличивая вдвое количество фазовых переменных.
Поскольку мы имеем дело с неконсервативными системами, а именно, с системами, в которых в определенном роде присутствует так называемая диссипация переменного знака (в одних областях фазового пространства присутствует ``собственно'' диссипация - некое рассеяние полной энергии, которая не сохраняется, а в других - подкачка энергии, т.е. формально - ``рассеяние'' с противоположным знаком), то ни о каком полном списке даже непрерывных (автономных) первых интегралов не может идти речи.
Поэтому данная работа состоит из трех более крупных разделов. Сначала проводится достаточно подробно анализ некоторой естественной порождающей задачи из динамики пятимерного твердого тела, помещенного в неконсервативное поле сил, при этом в системе присутствует также гладкое управление. При естественных предположениях данная задача редуцируется к динамическим системам на касательном расслоении четырехмерной сферы и обладает полным набором, вообще говоря, трансцендентных первых интегралов, выражающихся через конечные комбинации элементарных функций. Трансцендентность в данном случае понимается в смысле теории функций комплексного переменного, когда у функции имеются существенно особые точки.
Во втором разделе рассмотрены более общие динамические системы на касательном расслоении к четырехмерной сфере. Данные системы обобщают системы, рассмотренные ранее в предыдущем разделе. При этом системы более общего вида включают также и классическую задачу о движении точки по четырехмерной сфере, где при некоторых условиях также получены полные наборы, вообще говоря, трансцендентных первых интегралов.
В заключенительном разделе рассмотрены касательные расслоения к достаточно обширным классам гладких четырехмерных многообразий и также предъявлены достаточные условия интегрируемости.