Заседание 484 (28 октября 2022 г.)
Бобылев А.А.
Численное построение оператора Пуанкаре-Стеклова для стратифицированной упругой полосы.
Рассматривается оператор Пуанкаре-Стеклова для изотропной стратифицированной упругой полосы, отображающий на части границы нормальные напряжения в нормальные перемещения. Для построения трансформанты ядра интегрального представления этого оператора (передаточной функции) предложен новый подход. Получена вариационная формулировка краевой задачи для трансформант перемещений. Дано определение и доказаны существование и единственность обобщенного решения задачи. Построен итерационный метод решения вариационных уравнений и на основе принципа сжатых отображений получены условия его сходимости. Предложен эвристический алгоритм выбора последовательности параметров итерационного метода, обеспечивающей его сходимость для любого начального значения параметра.
Аппроксимация вариационных уравнений производится методом конечных элементов. Используются двухузловые конечные элементы первого порядка. В результате на каждом шаге итерационного метода требуется решить две независимые системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), матрицы которых имеют диагональное преобладание. Для решения этих СЛАУ применяется метод прогонки, алгоритм которого в данном случае является корректным и устойчивым.
Проведена верификация вычислительного алгоритма и разработанного программного обеспечения. В качестве тестовых выбирались краевые задачи для трех типов изотропных упругих полос: однородных полос, непрерывно-неоднородных полос, параметры Ламе которых являлись экспоненциальными функциями, и кусочно-однородных полос с полностью сцепленными слоями. Даны рекомендации по использованию адаптивных конечно-элементных сеток для уменьшения вычислительных затрат.
Разработанный вычислительный алгоритм может быть применен и в более общем случае – при наличии на границе полосы касательных напряжений. Предложенный подход к вычислению передаточной функции может быть обобщен на случай слоистой полосы при неполном сцеплении слоев и на случай, когда упругая стратифицированная полоса сцеплена с упругой однородной полуплоскостью.