Заседание 468 (4 марта 2022 г.)
Бобылев А.А.
Применение дискретного преобразования Фурье к решению контактных задач с односторонними связями.
Рассматриваются задачи о вдавливании гладкого жесткого штампа в упругое тело. Область, занимаемая упругим телом, может быть одного из следующих типов: полуплоскость, полоса, полупространство и слой. Для первых двух типов областей рассматриваются задачи о плоской деформации, а для двух других – пространственные контактные задачи. Контактное взаимодействие упругого тела со штампом описывается нелинейными условиями одностороннего гладкого контакта, содержащими неравенства.
Для решения задач применяется вариационный подход. Построено граничное вариационное неравенство с использованием оператора Стеклова-Пуанкаре, отображающего на части границы упругого тела нормальные напряжения в нормальные перемещения. Получена эквивалентная граничному вариационному неравенству задача минимизации граничного функционала на множестве статически допустимых нормальных напряжений. Операторы Стеклова-Пуанкаре для рассматриваемых полубесконечных упругих областей строятся с использованием интегрального преобразования Фурье.
В численном анализе использование преобразования Фурье наиболее эффективно в случае периодических функций, благодаря дискретности их спектра и, как следствие, переходе от непрерывного преобразования к дискретному. Поэтому основная идея используемого подхода состоит в аппроксимации искомых нормальных напряжений периодическими сеточными функциями. Для уменьшения так называемой ошибки периодичности используется расширенная вычислительная область. В результате вычисление оператора Пуанкаре-Стеклова сводится к выполнению пары (прямого и обратного) преобразований Фурье и перемножению спектров. Численная реализация прямого и обратного дискретных преобразований Фурье производится с помощью алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Для численного решения полученных в результате дискретизации задач квадратичного программирования, используется разработанный автором алгоритм на основе метода сопряженных градиентов, учитывающий специфику множества ограничений и позволяющий рассматривать случаи внецентренного нагружения штампа.
Вычислительный алгоритм реализован на языке FORTRAN с применением программного пакета для разработчиков NVIDIA HPC SDK. Для выполнения БПФ используется библиотека cuFFT, позволяющая с помощью технологии CUDA производить вычисления на графических процессорах.
Получены решения ряда задач дискретного контакта о вдавливании в упругое тело жесткого штампа, имеющего поверхностный рельефом.