Заседание 465 (17 декабря 2021 г.)
Поляков Н.Л. (ВШЭ), Шамолин М.В.
О некоторых новых результатах в алгебраической теории коллективного выбора.
В докладе представлены новые результаты в теории коллективного выбора, которые получены с помощью методов универсальной алгебры и теории замкнутых классов дискретных функций. Эти результаты развивают идеи работ [1, 2, 3, 4], однако, в отличие от результатов этих работ, относятся к классу т. н. теорем возможности. В частности, авторами получено явное описание локальных правил агрегирования, которые имеют нетривиальные симметричные классы инвариантных множеств предпочтений, см. [5, 6]. По существу, этот результат отвечает на вопрос: для каких локальных правил агрегирования нетривиальное инвариантное множество предпочтений существует и может быть описано теоретико-множественной формулой без констант из множества альтернатив. В работах [7, 8] результаты распространены на динамические процедуры агрегирования, состоящие в пошаговом принятии решений на случайной последовательности подмножеств множества альтернатив. Далее мы рассматриваем класс нелокальных правил агрегирования fA, F, J, имитирующих пошаговое принятие решений с правилом F при фиксированных функции адаптации агентов A и упорядочении альтернатив J, причем упорядочение J считается случайным фактором. Оказывается, если правило F порождается правилом большинства, то для некоторой фунции адаптации A и любого упорядочения J каждое такое правило сохраняет множество рациональных предпочтений и позволяет определить победителя по Кондорсе, если он существует. В конце доклада мы сформулируем ряд открытых вопросов.
1. Shelah S. On the Arrow property. Adv. in Ap. Mat., vol. 34 (2005), pp. 217-251.
2. Поляков Н.Л., Шамолин М.В. О замкнутых симметричных классах функций, сохраняющих любой одноместный предикат // Вестн. СамГУ. Естественнонаучная сер., 2013, 6(107), с. 61-73.
3. Polyakov N.L., Shamolin M.V. On a generalization of Arrow's impossibility theorem. Doklady Mathematics, vol. 89, no. 3 (2014), pp. 290-292.
4. Polyakov N. Functional Galois connections and a classification of symmetric conservative clones with a finite carrier // Working papers by Cornell University. Series math arxiv.org (2018), pp.~1-22.
5. Poliakov N.L., Shamolin M.V. Reduction theorems in the social choice theory // Geometry and Mechanics, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz., 174, VINITI, Moscow, 2020, pp. 46-51.
6. Polyakov N. Dichotomy theorem in computational social choice theory // Proceedings of Russian Workshop on Complexity and Model Theory, June 9-11, Moscow, 2019.
7. Поляков Н.Л., Шамолин М.В. О динамических системах агрегирования // Труды семинара им. И. Г. Петровского (2019), т. 32, с. 257-282.
8. Poliakov N.L., Shamolin M.V. On Dynamic Aggregation Systems, Journal of Mathematical Sciences, 244:2 (2020), pp. 278-293.