Представлено новое доказательство теоремы Брунна-Минковского об объёме суммы выпуклых тел P₀, P₁ в евклидовом пространстве Rⁿ, n>=2, одинакового n-мерного объёма: V_n((1-t)P₀+tP₁)\geqslant V_n(P₀)=V_n(P₁), 0 < t < 1, причём равенство имеет место, только если P₁ получается из P₀ параллельным переносом, в остальных случаях теорема утверждает строгое неравенство. Опровергается сформировавшееся мнение о том, что исключение равенства особая наиболее трудная часть теоремы, приводятся причины сложившейся ситуации.