Рассматривается бесконечная в обе стороны последовательность (каскад) сжимающих -отображений , некоторой окрестности общей неподвижной точки . Предполагаются: 1) выполнение некоторых условий "согласования" и "равномерности" для линейных частей этих отображений в неподвижной точке, 2) достаточно высокая гладкость отображений (нижняя граница для N определяется условиями, наложенными выше на ), 3) равномерная ограниченность отображений в -норме.

При указанных условиях построен неавтономный аналог (частичной) нормализации класса , который обобщает и улучшает недавнюю конструкцию М. Гайсинского и А. Катка (Math. Res. Letters, 1998, v.5, no. 1-2, p. 149-163). Предложенный подход является существенно геометрическим и основан, в частности, на применении стандартных средств гиперболический теории к отображениям банаховых функциональных пространств. В качестве отправной точки служит классический результат Ш. Стернберга (Amer. J. Math., 1957, v. 79, no. 4, p. 809-824) о гладкой нормализации гладкого сжимающего отображения.