Заседание 368 (10 февраля 2017 г., юбилейное, посвященное 50-летию профессора М. В. Шамолина)
Шамолин М. В.
Интегрируемые системы с диссипацией на касательном расслоении двумерного многообразия.
Как известно, понятие интегрируемости, вообще говоря, достаточно расплывчатое. При его построении необходимо учитывать в каком смысле оно понимается, в классе каких функций ищутся первые интегралы и т.д. В данной работе принимается такой подход, который учитывает в качестве класса функций как первых интегралов трансцендентные функции, причем элементарные. Здесь трансцендентность понимается не в смысле теории элементарных функций (например тригонометрических), а в смысле наличия у них существенно особых точек (в силу классификации, принятой в теории функций комплексного переменного, когда функция имеет существенно особые точки).
Ранее уже была показана полная интегрируемость уравнений пространственного движения тела в сопротивляющейся среде, когда у системы динамических уравнений существует полный набор трансцендентных первых интегралов. Далее, была исследована динамическая часть уравнений движения различных динамически симметричных четырехмерных твердых тел. При этом рассматриваемые системы в некоторых случаях сводились к системе с диссипацией на касательном расслоении двумерной сферы.
В данной работе сначала рассматриваются уравнения геодезических на касательном расслоении гладкого двумерного многообразия (система в отсутствии внешнего поля сил). Строится переход к удобным координатам касательного пространства. В дальнейшем сначала вводятся внешние силовые поля, которые являются потенциальными, и рассматриваемые системы четвертого порядка обладают полным набором (тремя) гладких первых интегралов. А затем в таких системах вводятся дополнительные члены, в результате чего системы перестают быть консервативными, а точнее, становятся системами с так называемой знакопеременной диссипацией. При этом при некоторых условиях они обладают полным набором (негладких) трансцендентных первых интегралов, в ряде случаев выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций.