Заседание 348 (19 февраля 2016 г.)
Шамолин М. В.
Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательных расслоениях к двумерной и трехмерной сферам.
Во многих задачах многомерной динамики возникают механические системы с пространствами положений – сферами конечной размерности. Фазовыми пространствами таких систем становятся касательные расслоения к сферам. Так, например, изучение пространственного (трехмерного) маятника на сферическом шарнире приводит к динамической системе на касательном расслоении к двумерной сфере. При этом динамические системы, описывающие движение такого маятника, обладают знакоперемен-ной диссипацией, и полный список первых интегралов состоит из трансцендентных функций, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций.
Построение неконсервативного силового поля, действующего на закрепленное многомерное твердое тело, опирается на результаты из динамики реальных закрепленных твердых тел, находящихся, в поле силы воздействия среды. Становится возможным изучение уравнений движения для многомерного тела в аналогично построенном поле сил и получение полного набора, вообще говоря, трансцендентных первых интегралов, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций. Полученные результаты особенно важны в смысле присутствия в системе именно неконсервативного поля сил.
В работе показана интегрируемость в элементарных функциях некоторых классов динамических систем на касательных расслоениях к сферам размерности 2 и 3. При этом силовые поля обладают так называемой переменной диссипацией с нулевым средним и обобщают ранее рассмотренные.