Заседание 339 (11 сентября 2015 г.)
Поляков Н. Л.
О теоремах невозможности и возможности в теории принятия решений.
Теоремами невозможности принято называть утверждения, относящиеся к теории коллективного выбора (social choice theory) и утверждающие, что при тех или иных условиях не существует правила агрегирования индивидуальных систем предпочтений, которое обладает некоторыми естественными свойствами. Первым и самым известным результатом в этой области была теорема (парадокс) Эрроу (1950), устанавливающая отсутствие "хороших" правил агрегирования для рациональных систем предпочтений. Наиболее сильным обобщением теоремы Эрроу в настоящее время является, по-видимому, результат работы [1]. Как показывают исследования последних десятилетий, несуществование удовлетворительных правил агрегирования есть обычное явление для весьма широкого класса условий. Редкие нарушения этой закономерности называются теоремами возможности.
Доклад посвящен распространению результатов теории коллективного выбора на значительно более широкий класс моделей. А именно, вместо частной задачи построения коллективной функции выбора по индивидуальным функциям выбора участников, рассматривается задача агрегирования процедур принятия решений, т.е. произвольных функций из конечного множества Q (условий) в конечное множество A (решений). Ставится вопрос, какие симметричные (т.е. не зависящие от вида конкретных условий) множества процедур принятия решений могут сохраняться естественным правилом агрегирования?
Для получения ответа автор строит классификацию клонов правил агрегирования, сохраняющих какой-либо симметричный класс процедур принятия решений. Вне соображений мотивации, эта классификация есть описание решетки симметричных консервативных клонов с носителем A. Оказывается, каждый такой клон может быть представлен в виде пересечения четырех простейших клонов специального вида. Первый из них состоит из всех консервативных функций на множестве A, которые совпадают с некоторой проекцией на множестве последовательностей, содержащих не более r различных элементов множества A (для некоторого числа r). Второй состоит из всех консервативных функций, удовлетворяющих условию 2-монотонности на множестве последовательностей, содержащих не более m различных элементов множества A (для некоторого числа m). Третий клон определяется устойчивым справа и слева отношением эквивалентности R: он состоит из всех консервативных функций, которые совпадают с некоторой проекцией на каждом классе эквивалентности отношения R. Наконец, четвертый клон определяется замкнутым относительно двойственности постовским классом П функций, сохраняющих ноль и единицу; в него включаются все консервативные функции f, ограничения которых на каждое множество Bn, где B - двухэлементное подмножество множества A, а n - арность функции f, принадлежат клону с носителем B, который натурально эквивалентен классу П.
[1] Поляков Н.Л., Шамолин М.В. Об одном обобщении теоремы Эрроу // Доклады РАН. 2014. T. 456, № 2. C. 143-145.