Заседание 309 (4 апреля 2014 г.)
Никабадзе М. У.
Некоторые аналитические решения в теориях тонких тел.
Найдены обратные тензоры-операторы к тензору-оператору уравнений движения в перемещениях для изотропного однородного материала и оператору напряжения, позволяющие расщеплять уравнения и граничные условия. Построен обратный матричный дифференциальный тензор-оператор к матричному дифференциальному тензору-оператору уравнений движения микрополярной теории упругости в перемещениях и вращениях как для изотропных однородных материалов с центром симметрии, так и для материалов, не обладающих центром симметрии. Получены уравнения по отдельности векторов перемещений и вращений. Как частный случай рассмотрена редуцированная среда. Выявлены случаи, при которых легко обратить оператор напряжения и моментного напряжения.
Из расщепленных уравнений классической (микрополярной) теории упругости получены соответствующие расщепленные уравнения статической (квазистатической) задачи теории призматических тел постоянной толщины в перемещениях (перемещениях и вращениях). Из последних систем уравнений в свою очередь выведены уравнения в моментах неизвестных векторных функций относительно любых систем ортогональных полиномов. Получены системы уравнений различных приближений (с нулевого по восьмого порядка) в моментах относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева второго рода. На основании построенного обратного оператора к оператору какой-нибудь из этих систем она расщепляется и для каждого момента неизвестной векторной функции получается уравнение эллиптического типа высокого порядка (порядок системы зависит от порядка приближения), характеристические корни которого легко находятся. Используя метод Векуа, можно получить их аналитическое решение.
Для микрополярной теории призматических тонких тел с двумя малыми размерами, имеющих поперечное сечение в виде прямоугольника, получены расщепленные уравнения в моментах векторов перемещений и вращений относительно произвольной системы полиномов (Лежандра, Чебышева). Аналогичные уравнения получены и для редуцированной среды, содержащие уравнение классической среды.
Получены расщепленные системы уравнений восьмого приближения микрополярной теории многослойных призматических тел постоянной толщины в моментах векторов перемещений и вращений. Для этой системы, используя метод Векуа, можно выписать аналитическое решение. Аналитическое решение, конечно, можно выписать и для уравнений редуцированной среды.