Работа посвящена колебательной устойчивости некоторых механических систем, подверженных действию следящих сил. К таким системам относятся двойной математический маятник с подвижной точкой подвеса способный вращаться вокруг вертикальной оси, а также стойка Бека - деформируемый стержень с массой, сосредоточенной в одной точке. Шарниры в маятнике либо материал стержня проявляют вязкоупругие свойства. В механике известен так называемый "парадокс Циглера", заключающийся в следующем. Если решить задачу для упругого шарнира (либо материала стержня) и найти соответствующую критическую силу, а затем решить ту же задачу для вязкоупругого по Фойгту шарнира (либо материала стержня), найти критическую силу и устремить в её выражении параметр вязкости к нулю, то эти два значения критических сил будут отличаться друг от друга. В данной работе этот "парадокс" или эффект дестабилизации малой внутренней вязкостью выявлен и в более сложных системах. Дано его математическое толкование. Найдены зависимости критических сил от угловой скорости вращения системы и от движения точки подвеса.