Заседание 3

Заседание 3 (19 марта 1999 г.)

Мантуров В.О. Применение атомов в современной геометрии и топологии.

Несколько лет назад А.Т. Фоменко ввел понятия "атома" и "молекулы" для классификации интегрируемых гамильтоновых систем малой сложности, а также для классификации бифуркаций функций Морса на двумерных многообразиях.

Между тем атом, рассмотренный как комбинаторный объект (граф кратности четыре со специальной структурой в вершинах), оказывается тесно связанным с такими топологическими понятиями, как узлы и зацепления, виртуальные узлы, хордовые диаграммы, минимальные сети на двумерных поверхностях, трехмерные многообразия.

Работа представляет собой обзор результатов автора, полученных за последние три года.

Выделим главные из них:

Найдено соответствие между так называемыми высотными атомами и узлами в , а также атомами и хордовыми диаграммами, что позволяет кодировать узлы и зацепления с помощью хордовых диаграмм специального вида. Написана компьютерная программа, перечисляющая атомы малой сложности.

С помощью высотных атомов построена скобочная полугруппа, изоморфная полугруппе узлов и зацеплений. Элементами этой полугруппы являются правильные двухскобочные структуры.

Построено соответствие между атомами и локально-минимальными сетями на двумерных многообразиях. Изучен вопрос о симметриях атомов и изометриях соответствующих многообразий.

Построено соответствие между ориентируемыми атомами и так называемыми виртуальными узлами.

Доказана теорема о том, что любое 3-многообразие допускает так называемую крашеную триангуляцию. Тем самым все трехмерные многообразия кодируются атомами. В случае ориентируемых 3-многообразий данная кодировка тесно связана с диаграммами Хегора. Кроме того, явно описаны свойства 3-многообразий в терминах соответствующих атомов.