Задача поиска полного набора трансцендентных первых интегралов систем с дисипацией является достаточно актуальной, и ей было ранее посвящено множество работ. Но в данной работе введен в рассмотрение новый класс динамических систем, имеющих периодическую координату. Благодаря наличию в таких системах нетривиальных групп симметрий, показано, что рассматриваемые системы обладают переменной диссипацией, означающей, что в среднем за период по имеющейся периодической координаты диссипация в системе равна нулю, хотя в разных областях фазового пространства в системе может присутствовать как подкачка энергии извне, так и ее рассеяние. На базе полученного материала проанализированы динамические системы, возникающие в динамике закрепленного двумерного, трехмерного и четырехмерного симметричного твердого тела. В результате обнаружен ряд случаев интегрируемости уравнений движения в трансцендентных функциях и выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций.