Заседание 238 (3 декабря 2010 г.)
Шамаров Н. Н.
Метод меры Маслова-Пуассона.
В докладе изложен метод решения эволюционных уравнений, частный случай которого эквивалентен методу В. П. Маслова для решения определенного класса уравнений Шредингера с помощью функционального интеграла по комплекснозначной счетно аддитивной мере пуассоновского типа. Эта мера задана на пространстве траекторий в сопряженном к исходному пространству физических координат, и соответствующий ей интеграл может быть назван интегралом по траекториям в импульсном пространстве.
Если оригинальный метод Маслова опирается на экспоненциальный ряд типа Дайсона, то докладываемый метод - на продакт-формулы типа формул Чернова и Троттера для аппроксимаций однопараметрических операторных полугрупп. Докладываемый метод применим к таким уравнениям с матричными коэффициентами (с некоммутирующими значенями, вообще говоря), как уравнение Шредингера с матричным эффективным потенциалом и знаменитое уравнение Дирака для релятивистского электрона, а также классическому уравнению теплопроводности с матричным эффективным источником/стоком тепла. Кроме того, метод оказался адаптируемым и к ставшим в начале века актуальными аналогам уравнения теплопроводности, в которых "пространственная переменная" пробегает пространство над полем р-адических чисел, не обязательно конечномерное, и роль оператора Лапласа играет оператор В. С. Владимирова (либо, соответственно, его бесконечномерный аналог).
Модифицированный метод приводит также и к отличным от фейнмановских интегралам по траекториям в фазовом пространстве для решения классического уравнения Шредингера.
Ожидается, что развитый автором доклада метод распространяется также на случай координатного суперпространства. Наиболее общая формулировка метода применима к уравнениям эволюционного типа, в которых "координатная" или "импульсная" переменная пробегает абелеву группу, не обязательно локально компактную, измеримая структура которой определяется некоторым достаточным (т.е. разделяющим элементы группы) семейством алгебраических характеров.