Заседание 232 (17 сентября 2010 г.)
Богомолов С. В.
Задача на Стохастические диффузионные модели в газовой динамике.
Точность и эффективность вычислительных алгоритмов газовой динамики могут быть улучшены с помощью построения иерархии математических моделей, основанных на микро-макро представлениях.
В основу обычно кладут уравнение Больцмана, в безразмерном виде которого перед интегралом столкновений стоит множитель 1/Kn, где параметр обезразмеривания Kn (число Кнудсена), зависит от пространственной переменной x. При современных высоких требованиях к качеству вычислительных технологий вся область, в которой производится расчет, разбивается на подобласти, обладающие разными свойствами. Если Kn - порядка единицы, то это - подобласть, требующая использования уравнения Больцмана. В тех областях, где Kn умеренно мал, можно воспользоваться уравнением Колмогорова-Фоккера-Планка, коэффициенты в котором определяются столкновительной моделью и при некоторых упрощающих предположениях могут быть вычислены в явном виде. Это - нелинейное уравнение относительно семимерной функции распределения в фазовом пространстве, как и уравнение Больцмана, но с более простой структурой: вместо интеграла столкновений стоит оператор переноса с диффузией в пространстве скоростей, который можно называть модельным интегралом столкновений.
В диапазоне умеренных чисел Kn можно получить и макроскопическое описание - уравнения стохастической квазигазодинамики, связанные с уравнением Колмогорова-Фоккера-Планка через полученные с помощью пространственно-временного усреднения коэффициенты. Для очень малых Kn эти уравнения примыкают к уравнениям Навье-Стокса.
Описанный на языке детерминистических уравнений микро-макро мостик строится с помощью теории случайных процессов, исходя из системы стохастических дифференциальных уравнений, описывающих газ при умеренных и малых числах Кнудсена. При этом получается набор стохастических моделей, порождающий целый ряд методов Монте-Карло, перспективных с точки зрения супер-вычислений, благодаря их естественной параллелизации. Наш подход отличается от других способов построения квазигазодинамических уравнений иными гипотезами, благодаря которым и получается более простое, по сравнению с кинетическим, описание газовой среды.
1. Скороход А.В. Стохастические уравнения для сложных систем. - М.: Наука, 1983.
2. Арсеньев А.А. Лекции о кинетических уравнениях. - М.: Наука, 1992.
3. Богомолов С.В. Об одном подходе к получению стохастических моделей газодинамики // ДАН, 2008, т. 423, N 4, с. 458.
4. Богомолов С.В. Уравнения квазигазодинамики // Математическое моделирование, 2009, т. 21, N 12, с. 145-151.