Заседание 210 (24 апреля 2009 г.)
Георгиевский Д. В.
Критические числа Рейнольдса в задачах на собственные значения для уравнения Орра-Зоммерфельда.
Как известно, уравнение Орра–Зоммерфельда в линеаризованной теории гидродинамической устойчивости описывает развитие возмущений в одномерном стационарном сдвиговом течении ньютоновской вязкой жидкости в плоском слое. Поставить задачу на собственные значения, или спектральную проблему устойчивости, означает добавить к уравнению Орра–Зоммерфельда четвёртого порядка четыре однородных граничных условия на возмущение функции тока. Традиционно такими условиями выбираются условия прилипания, не меняющиеся при переходе из основного течения к возмущённому.
Получившаяся таким образом задача Орра–Зоммерфельда довольно широко исследована в плане классификации устойчивых профилей скорости как математиками–специалистами по спектральной теории, так и механиками. Поскольку точного общего фундаментального решения (за исключением тривиального невозмущённого состояния – покоя) аналитически выписать не удаётся, используются приближённые и численные методы. Одним из таких приближённых методов является метод интегральных соотношений, позволяющий на основе вариационных неравенств давать нижние оценки критических чисел Рейнольдса. В 60-е годы XX века Д.Джозеф и Йи Чиа-Шун получили соответствующие оценки для течений Куэтта и Пуазейля в плоском слое.
В более ранних работах автора данный метод был развит применительно к неодномерным и нестационарным течениям со сложной реологией (нелинейным вязким жидкостям, идеально- и вязкопластическим телам). К новым результатам представленной работы следует отнести:
- улучшение оценок Джозефа–Йи в классической задаче Орра–Зоммерфельда за счёт оптимизации процесса минимизации квадратичных функционалов;
- получение достаточных оценок устойчивости в задачах на собственные значения для Орра–Зоммерфельда, где в качестве условий на одной границе слоя берётся условие прилипания, а на другой: а) задаются касательная компонента вектора напряжений и нормальная компонента вектора скорости, либо б) требуется, чтобы поверхность (в возмущённом движении, вообще говоря, криволинейная) была свободна от напряжений;
- получение верхних оценок параметра роста возмущений для уравнения Рэлея, являющегося сингулярным пределом уравнения Орра–Зоммерфельда, также с тремя типами (на этот раз не четвёрками, а парами) граничных условий.
Отметим, что упомянутый выше случай б) отличается вхождением спектрального параметра в граничное условие на свободной поверхности и представляет значительно большие математические трудности чем классическая задача Орра–Зоммерфельда.