Разработан численно-аналитический метод решения обобщённой задачи Штурма–Лиувилля с комплексными коэффициентами, являющийся развитием метода ускоренной сходимости. С помощью этого метода с выведенной оценкой собственного числа за несколько итераций получается искомое решение. В качестве одного из приложений исследована задача о продольных и крутильных колебаниях упругих стержней переменного поперечного сечения (концентраторов) для различных форм боковой поверхности, типов граничных условий и областей частот колебаний. Построены графики коэффициентов усиления концентратора в зависимости от отношения радиусов оснований. Разработан аналитический метод получения первого члена асимптотического разложения по малому безразмерному пределу текучести любого дискретного собственного значения обобщённой задачи Рэлея.