Заседание 172 (26 октября 2007 г.)
Шамолин М. В.
Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией.
Работа содержит обзор аналитических и геометрических методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, обладающих определенными симметриями. Основное место в данном исследовании занимают полный качественный (топологический) анализ и поиск полного набора первых интегралов систем, обладающих в некоторой части фазового пространства, наряду с рассеянием обобщенной энергии, свойствами, характеризующими ее подкачку. В основе данного исследования лежит идея изучения таких систем «в целом», т. е. отсутствие деления их фазового пространства на части, отвечающие свойствам рассеяния или подкачки энергии.
Специальное внимание уделено разработке геометрических методов исследования систем достаточно общего вида на предмет наличия или отсутствия у них замкнутых характеристик, которые, в зависимости от топологии фазового многообразия, могут по-разному влиять на интегрируемость и качественное расположение фазовых траекторий «в целом».
Одно из главных мест исследования принадлежит обнаружению полного набора трансцендентных (в смысле классификации их особенностей) первых интегралов динамических систем, обладающих асимптотическими предельными множествами – отталкивающими или притягивающими. В частности, найдены новые интегрируемые случаи в более общих системах, чем системы, описывающие пространственную динамику твердого тела, взаимодействующего со средой.
Рассмотрены задачи из динамики твердого тела, взаимодействующего со средой, а именно, о движении динамически симметричного свободного тела при наличии или отсутствии следящей силы, а также тел частично закрепленных (маятников), находящихся в однородном потоке набегающей среды. Найдены новые семейства многомерных фазовых портретов, как (абсолютно или относительно) грубых, так и негрубых различной степени данной негрубости, при этом состоящих из бесчисленного множества топологически неэквивалентных портретов.