Заседание 157 (23 июня 2006 г.)

Иванов М. И. (ИПМех РАН) Задача Лапласа-Хафа. Собственные колебания слоя жидкости, покрывающей вращающийся шар.

В 1775 году при исследовании динамических приливов Лаплас получил дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее собственные гармонические колебания тонкого слоя жидкости, покрывающего вращающийся шар, в настоящее время носящее его имя. В общем случае уравнение Лапласа имеет 4 регулярные особые точки, 2 – на полюсах шара и 2 – на так называемых критических широтах. С наличием особых точек связана основная трудность решения задачи. Согласно теории Фукса эти особые точки являются точками логарифмического ветвления, где один из интегралов уравнения Лапласа будет голоморфен, тогда как другой обязательно будет содержать логарифмический член. Обычное решение такого рода задач при помощи рядов Фукса не даёт результата из-за их медленной сходимости и из-за того, что в выражения для коэффициентов ряда входит искомая собственная частота, поэтому, насколько известно автору, никогда не предпринималось. Наибольшего продвижения в решении задачи достиг английский астроном Хаф в 1897-1898 годах. Он показал, что собственные функции уравнения Лапласа асимптотически близки к некоторой линейной комбинации двух функций Лежандра и вывел формулу для приближённого вычисления собственных частот. В большинстве последующих работ в XX веке решения уравнения Лапласа отыскивались согласно методике Хафа, т.е. в виде разложения по сферическим функциям, что приводило к трудным и громоздким вычислениям.

Однако можно предложить другой, гораздо менее громоздкий, метод решения задачи Лапласа. В некоторой окрестности особой точки собственная функция может быть представлена рядом Фукса. Удерживая несколько первых членов ряда, получаем аналитическое выражение, при уменьшении радиуса окрестности имеющее пределом решение уравнение Лапласа. В остальной части задачной области решение может быть найдено численно стандартными методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений, при этом решение сшивается с укороченным рядом Фукса на границе окрестности особой точки по двум производным. Требования чётности или нечётности решения приводят к нахождению собственных частот и собственных функций. Таким образом получены решения уравнения Хафа (частный случай уравнения Лапласа для осесимметричных колебаний) и уравнения полусуточных колебаний (вырожденное уравнение Лапласа, играющее важную роль при исследовании приливов третьего рода). Получены собственные функции и собственные числа. Последние находятся в хорошем соответствии с числами Хафа. В настоящий момент исследуются возможности применения предложенной методики к решению общего уравнения Лапласа.