Обсуждаются оценки и условия в форме неравенств, полученные В. М. Алексеевым в разработанным им методе маршрутных схем, который был инициирован знаменитой подковой Смейла, но является неавтономной разновидностью восходящего ещё к Ж. Адамару метода преобразования графиков в гиперболической теории. На основе применения так называемого вспомогательного отображения дано простое доказательство этих оценок и установлена их неулучшаемость. Показано, что обсуждаемая конструкция и оценки переносятся на бесконечномерный банахов и необратимый случаи. Установлено, что соответствующие асимптотические многообразия (неавтономные аналоги инвариантных устойчивого и неустойчивого многообразий) являются гладкими и в случае, если не делать обычного предположения о равномерной непрерывности первых производных исходного отображения банахова многообразия. Обсуждаются вопросы сходимости метода поиска траекторий типа метода прогонки, основанного на использовании вспомогательного отображения.